假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度为h的轨道做匀速圆周运动，周期为T，已知万有引力常量为G，求：（1）该天体的质量是多少？（2）该天体

一、题文

假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度为h的轨道做匀速圆周运动，周期为T，已知万有引力常量为G，求： （1）该天体的质量是多少？ （2）该天体的密度是多少？ （3）该天体表面的重力加速度是多少？ （4）该天体的第一宇宙速度是多少？

二、答案

（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有： G Mm (R+h)2 =m( 2π T )2(R+h) 解得： M= 4π2(R+h)3 GT2 ① （2）天体的密度： ρ= M V = 4π2(R+h)3 GT2 4 3 πR3 = 3π(R+h)3 GT2R3 ； （3）在天体表面，重力等于万有引力，故： mg=G Mm R2 ② 联立①②解得： g= 4π2(R+h)3 R2T2 ③ （4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律，有： mg=m v2 R ④ 联立③④解得： v= gR = 4π2(R+h)3 RT2 ； 答：（1）该天体的质量是 4π2(R+h)3 GT2 ； （2）该天体的密度是 3π(R+h)3 GT2R3 ； （3）该天体表面的重力加速度是多 4π2(R+h)3 R2T2 ； （4）该天体的第一宇宙速度是 4π2(R+h)3 RT2 ．

三、考点梳理

知识点名称：万有引力定律的其他应用

考点名称：万有引力定律的其他应用

• 万有引力定律的其他应用：

  万有引力定律：（G=6.67×10^-11 N·m²/kg²），万有引力定律在天文学中的应用：
  1、计算天体的质量和密度；
  2、人造地球卫星、地球同步卫星、近地卫星；
  3、发现未知天体；
  4、分析重力加速度g随离地面高度h的变化情况；
  ①物体的重力随地面高度h的变化情况：物体的重力近似地球对物体的吸引力，即近似等于，可见物体的重力随h的增大而减小，由G=mg得g随h的增大而减小。
  ②在地球表面（忽略地球自转影响）：（g为地球表面重力加速度，r为地球半径）。
  ③当物体位于地面以下时，所受重力也比地面要小，物体越接近地心，重力越小，物体在地心时，其重力为零。
  5、双星问题：天文学上把两颗相距比较近，又与其他星体距离比较远的星体叫做双星。双星的间距是一定的，它们绕二者连线上的同一点分别做圆周运动，角速度相等。以下图为例
  
  
  由以上各式解得：
  6、黄金代换公式：GM=gR²。