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解下列分式方程:(1)x+1x-1-4x2-1=1;(2)2x+1+3x-1=6x2-1.

一、题文

解下列分式方程:
(1)
x+1
x-1
-
4
x2-1
=1;             (2)
2
x+1
+
3
x-1
=
6
x2-1

考点提示:解分式方程

二、答案

(1)方程两边同乘以(x-1)(x+1),得
(x+1)2-4=x2-1,
化简得2x-2=0,
解得x=1.
检验:当x=1时,(x-1)(x+1)=0,
∴x=1不是原方程的解,即原方程无解.

(2)方程两边同乘以(x+1)(x-1),得
2(x-1)+3(x+1)=6,
解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0.
∴x=1是原方程的增根,即原方程无解.

三、考点梳理

知名教师分析,《解下列分式方程:(1)x+1x-1-4x2-1=1;(2)2x+1+3x-1=6x2-1.》这道题主要考你对 解分式方程 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:解分式方程

考点名称:解分式方程
  • 解法:
    解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,其一般步骤是:
    (1)去分母:分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母,把分式方程转化为整式方程。
    (最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)
    (2)解方程:解整式方程,得到方程的根;
    (3)验根:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;
    否则,这个解不是原分式方程的解,是原分式方程的增根。
    如果分式本身约分了,也要带进去检验。
    在列分式方程解应用题时,不仅要检验所得解的是否满足方程式,还要检验是否符合题意。
    一般的,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解.
    注意:
    (1)注意去分母时,不要漏乘整式项。
    (2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根。
    (3)増根使最简公分母等于0。

    分式方程的特殊解法:
    换元法:
    换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。
  • 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法。
    解分式方程注意:
    ①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,通过解整式方程进一步求得分式方程的解;
    ②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边,从而约去分母,但要注意用最简公分母乘方程两边各项时,切勿漏项;
    ③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况,那么检验就是解分式方程的必要步骤。

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