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  4. 分式方程的定义解分式方程分式方程的应用

京沪高铁是目前世界上一次建成的线路里程最长,技术标准最高的高速铁路,线路全长1320公里。原有京沪铁路全长约1500公里。2011年6月底京沪高铁正式通车,乘坐高铁列车比乘坐

一、题文

京沪高铁是目前世界上一次建成的线路里程最长,技术标准最高的高速铁路,线路全长1320公里。原有京沪铁路全长约1500公里。2011年6月底京沪高铁正式通车,乘坐高铁列车比乘坐普速列车要快10小时36分。已知高铁列车时速是普速列车的3倍,求高铁列车时速。

考点提示:分式方程的定义,解分式方程,分式方程的应用

二、答案

设普速列车时速为x千米/时,根据题意得                 
           
解得x=100                               
经检验,x=100是所列方程的根                 
3×100=300(千米/时)                            
答:高铁列车时速为300千米/时.                    
利用高铁与普速列车的时间差列方程。

三、考点梳理

知名教师分析,《京沪高铁是目前世界上一次建成的线路里程最长,技术标准最高的高速铁路,线路全长1320公里。原有京沪铁路全长约1500公里。2011年6月底京沪高铁正式通车,乘坐高铁列车比乘坐》这道题主要考你对 分式方程的定义解分式方程分式方程的应用 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:分式方程的定义,解分式方程,分式方程的应用

考点名称:分式方程的定义
  • 分式方程是方程中的一种,且分母里含有未知数的(有理)方程叫做分式方程,等号两边至少有一个分母含有未知数。
  • 分式方程特征:
    ①一是方程
    ②二是分母中含有未知数。
    因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数。
考点名称:解分式方程
  • 解法:
    解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,其一般步骤是:
    (1)去分母:分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母,把分式方程转化为整式方程。
    (最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)
    (2)解方程:解整式方程,得到方程的根;
    (3)验根:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;
    否则,这个解不是原分式方程的解,是原分式方程的增根。
    如果分式本身约分了,也要带进去检验。
    在列分式方程解应用题时,不仅要检验所得解的是否满足方程式,还要检验是否符合题意。
    一般的,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解.
    注意:
    (1)注意去分母时,不要漏乘整式项。
    (2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根。
    (3)増根使最简公分母等于0。

    分式方程的特殊解法:
    换元法:
    换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。
  • 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法。
    解分式方程注意:
    ①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,通过解整式方程进一步求得分式方程的解;
    ②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边,从而约去分母,但要注意用最简公分母乘方程两边各项时,切勿漏项;
    ③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况,那么检验就是解分式方程的必要步骤。

考点名称:分式方程的应用
  • 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得的解是否为原方程的根,以及是否符合题意。
    列分式方程解应用题的一般步骤是:
    ①找等量关系(审):理解题意,弄清具体情境中的已知量与未知量以及它们之间的基本关系;
    ②设:设未知数,用含x(或其他字母)表示某个未知数,由该未知数与其他数量的关系,写出表示相关量的式子;
    ③列:找出相等关系,列出分式方程;
    ④解:解这个分式方程;
    ⑤检验:双重检验,先检验是否为增根,再检验是否符合题意;
    ⑥答:写出答案。

    例题
    南宁到昆明西站的路程为828KM,一列普通列车和一列直达快车都从南宁开往昆明。直达快车的速度是普通快车速度的1.5倍,普通快车出发2H后,直达快车出发,结果比普通列车先到4H,求两次的速度.
    设普通车速度是x千米每小时则直达车是1.5x
    由题意得:
    828/x-828/1.5x=6 ,
    (828×1.5-828)/1.5x=6 ,
    414/1.5=6x,
    x=46, 1.5x=69
    答:普通车速度是46千米每小时,直达车是69千米每小时。

    无解的含义:
    1.解为增根。
    2.整式方程无解。(如:0x不等于0.)

  • 用分式解应用题的常见题型:
    (1)行程问题有路程、时间和速度三个量,其关系式是路程=速度×时间,一般式以时间为等量关系。
    (2)工程问题有工作效率、工作时间和工作总量三个量,其关系式是工作总量=工作效率×工作时间。
    (3)增长率问题,其等量关系式是原量×(1+增长率)=增长后的量,原量×(1+减少率)=减少后的量。

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