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  4. 倒数代数式的求值 同类项一元一次方程的解法

若2x|2a+1|y与12xy|b|是同类项,其中a,b互为倒数,求2(a-2b2)-12(3b2-a)的值.

一、题文

若2x|2a+1|y与
1
2
xy|b|是同类项,其中a,b互为倒数,求2(a-2b2)-
1
2
(3b2-a)的值.

考点提示:倒数,代数式的求值 ,同类项,一元一次方程的解法

二、答案

根据题意,得
|2a+1|=1
|b|=1
a=0,-1
b=±1

又∵a,b互为倒数,∴
a=-1
b=-1

∴原式=2(a-2b2)-
1
2
(3b2-a)=2(-1-2)-
1
2
(3+1)=-8.

三、考点梳理

知名教师分析,《若2x|2a+1|y与12xy|b|是同类项,其中a,b互为倒数,求2(a-2b2)-12(3b2-a)的值.》这道题主要考你对 倒数代数式的求值 同类项一元一次方程的解法 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:倒数,代数式的求值 ,同类项,一元一次方程的解法

考点名称:倒数
  • 倒数的定义:
    如果两个数的乘积等于1,那么这两个数就叫做互为倒数。
  • 倒数性质
    (1)若a、b互为倒数,则ab=1,或,反之也成立;
    (2)0没有倒数;
    (3)乘积为-1的两个数互为负倒数,即ab=-1,则ab互为负倒数,反之也成立。

    倒数的特点
    一个正实数(1除外)加上它的倒数 一定大于2。
    理由:a/b,b/a为倒数当a>b时a/b一定大于1,可写为1+(a-b)/b。因为:
       b/a+(a-b)/a
    =b×b/a×b+(a÷b-b×b)/ab
    =(a×a-b×b+b×b)/ab
    =a×a/a×b,
    又因为a>b,
    所以a·a>a·b,
    所以a·a/a·b>1,
    所以1+(a-b)/b+a·a/a·b>2,
    所以一个正实数加上它的倒数一定大于2。
    当b>a时也一样。
    同理可证,一个负实数(-1除外)加上它的倒数一定小于-2。
  • 倒数的求法:
    1.求一个分数的倒数,例如3/4,我们只须把3/4这个分数的分子和分母交换位置,即得3/4的倒数为4/3。

    2.求一个整数的倒数,只须把这个整数看成是分母为1的分数,然后再按求分数倒数的方法即可得到。
    如12,即12/1,再把12/1这个分数的分子和分母交换位置,把分子做分母,分母做分子,则有1/12。 即12倒数是1/12。
    说明:倒数是本身的数是1和-1。(0没有倒数)

    把0.25化成分数,即1/4
    再把1/4这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子.则是4/1
    再把4/1化成整数,即4
    所以0.25是4的倒数。也可以说4是0.25的倒数
    也可以用1去除以这个数,例如0.25
    1/0.25等于4
    所以0.25的倒数4.
    因为乘积是1的两个数互为倒数。
    分数、整数也都使不完整用这种规律。
考点名称:代数式的求值
  • 代数式的值:
    用数值代替代数式的字母,按照代数式指明的运算,计算出结果才,叫做代数式的值。
  • 代数式求值的步骤:
    (1)代入;
    (2)计算。
    常用的代入方法有直接代入法与整体代入法。
    注:代数式的值的取值条件:
    (1)不能使代数式失去意义;
    (2)不能使所表示的实际问题失去意义。
  • 求代数式的值的方法:
    ①给出代数式中所有字母的值,该类题一般是先化简代数式,再代入字母的值,然后计算。
    ②给出代数式中所含几个字母之间的关系,不直接给出字母的值,该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形,转化成为用已知关系表示的形式。
    ③在给定条件中,字母之间的关系不明显,字母的值隐含在题设条件中,该类题应先由题设条件求出字母的值,再求代数式的值。
考点名称:同类项
  • 同类项:
    所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
    像4y与5y,100ab与14ab这样,所含字母相同,并且相同字母的次项的指数也相同的项叫做同类项,所有常数项都是同类项。(常数项也叫数字因数)
  • 同类项性质:
    (1)两个单项式是同类项的条件有两个:一是含有相同的字母;而是相同字母的指数分别相等;
    (2)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,只与字母及字母的指数有关;
    (3)所有的常数项都是同类项。
    例如:
    1. 多项式3a-24ab-5a-7—a+152ab+29+a中3a与-5a是同类项
    -24ab与152ab是同类项 【同类项与字母前的系数大小无关】
    2. -7和29也是同类项【所有常数项都是同类项。】
    3. -a和a也是同类项【-a的系数是-1 a的系数是1 】
    4. 2ab和2ba也是同类项【同类项与系数和字母的顺序无关】
    5.(3+k)与(3—k)是同类项。

  • 合并同类项:
    多项式中的同类项可以合并,叫做合并同类项。
    合并同类项步骤:
    (1)准确的找出同类项。
    (2)逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变。
    (3)写出合并后的结果。
    在掌握合并同类项时注意:
    1.如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.
    2.不要漏掉不能合并的项。
    3.只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式)。
    合并同类项的关键:正确判断同类项。

    合并同类项的法则是:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。

    合并同类项的理论依据:
    其实,合并同类项法则是有其理论依据的。它所依据的就是乘法分配律,a(b+c)=ab+ac。合并同类项实际上就是乘法分配律的逆向运用。即将同类项中的每一项都看成两个因数的积,由于各项中都含有相同的字母并且它们的指数也分别相同,故同类项中的每项都含有相同的因数。合并时将分配律逆向运用,用相同的那个因数去乘以各项中另一个因数的代数和。

    例1.合并同类项
    -8ab+6ab-3ab
    分析:同类项合并时,把同类项的系数加减,字母和各字母的指数都不改变。
    解答:原式=(-8+6-3)ab=-5 ab。
    例2.合并同类项
    -xy+3-2xy+5xy-4xy-7
    分析:在一个多项式中,往往含有几个不同的单项式,可运用加法交换律及合并同类项法则进行合并。注意不要把某些项漏合或漏写。
    解答:原式=(-xy+5xy)+(-2xy-4xy)+(3-7)=-2xy-4
    例3.合并同类项并解答:
    2y-5y+y+4y-3y-2,其中y=1/2
    =(2+1-3)y+(-5+4)y-2
    =0+(-y)-2
    当y=1/2时,原式=(-1/2)-2
    =-5/2
    在合并同类项时,要注意是常数项也是同类项。

考点名称:一元一次方程的解法
  • 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  • 解一元一次方程的注意事项:
    1、分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数;
    2、去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,此时不含分母的项切勿漏乘,分数线相当于括号,去分母后分子各项应加括号;
    3、去括号时,不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;
    4、移项时,切记要变号,不要丢项,有时先合并再移项,以免丢项;
    5、系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号;
    6、不要生搬硬套解方程的步骤,具体问题具体分析,找到最佳解法;
    7、分、小数运算时不能嫌麻烦;
    8、不要跳步,一步步仔细算 。
  • 解一元一次方程的步骤:
    一般解法:
    ⒈去分母:在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(不含分母的项也要乘);
    依据:等式的性质2
    ⒉ 去括号:一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号,可根据 乘法分配律(记住如括号外有减号或除号的话一定要变号)
    依据:乘法分配律
    ⒊ 移项:把方程中含有 未知数的项都移到方程的一边(一般是含有未知数的项移到方程左边,而把常数项移到右边)
    依据:等式的性质1
    ⒋ 合并同类项:把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
    依据:乘法分配律(逆用乘法分配律)
    ⒌ 系数化为1:在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解
    依据:等式的性质2

    方程的同解原理
    如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程。
    ⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
    ⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。 

    做一元一次方程应用题的重要方法:
    ⒈认真 审题(审题) 
    ⒉分析已知和未知量 
    ⒊找一个合适的 等量关系 
    ⒋设一个恰当的未知数  
    ⒌列出合理的方程 (列式) 
    ⒍解出方程(解题)  
    ⒎ 检验 
    ⒏写出答案(作答)

    例:ax=b(a、b为常数)?
    解:当a≠0,b=0时,
    ax=0
    x=0(此种情况与下一种一样)
    当a≠0时,x=b/a。
    当a=0,b=0时,方程有无数个解(注意:这种情况不属于一元一次方程,而属于恒等方程)
    当a=0,b≠0时,方程无解(此种情况也不属于一元一次方程)
    例:
    (3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5

    去分母(方程两边同乘各分母的最小 公倍数)得:
    5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)
    去括号得:
    15x+5-20=3x-2-4x-6
    移项得:
    15x-3x+4x=-2-6-5+20
    合并同类项得:
    16x=7
    系数化为1得:
    x=7/16。

    注:字母公式(等式的性质)
    a=b a+c=b+c a-c=b-c (等式的性质1)
    a=b ac=bc
    a=bc(c≠0)= a÷c=b÷c(等式的性质2)
    检验 算出后需检验的。
    求根公式
    由于一元一次方程是 基本方程,教科书上的解法只有上述的方法。
    但对于标准形式下的一元一次方程 ax+b=0
    可得出求根公式x=-(b/a)

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