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分解因式:4a2b2-(a2+b2)2=______.3+2的倒数是______.

一、题文

分解因式:4a2b2-(a2+b22=______.
3
+
2
的倒数是______.

考点提示:因式分解,最简二次根式

二、答案

4a2b2-(a2+b22=(2ab+a2+b2)(2ab-a2-b2)=-(a+b)2(a-b)2
1
3
+
2
=
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2

3
+
2
的倒数是
3
-
2

故答案为-(a+b)2(a-b)2
3
-
2

三、考点梳理

知名教师分析,《分解因式:4a2b2-(a2+b2)2=______.3+2的倒数是______.》这道题主要考你对 因式分解最简二次根式 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:因式分解,最简二次根式

考点名称:因式分解
  • 定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。
    它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。
  • 因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法,求根公式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
    注意四原则:
    1.分解要彻底(是否有公因式,是否可用公式)
    2.最后结果只有小括号
    3.最后结果中多项式首项系数为正(例如:)不一定首项一定为正。

  • 因式分解中的四个注意
    ①首项有负常提负,
    ②各项有“公”先提“公”,
    ③某项提出莫漏1,
    ④括号里面分到“底”。
    现举下例,可供参考。
    例:
    把-a2-b2+2ab+4分解因式。
    解:-a2-b2+2ab+4
    =-(a2-2ab+b2-4)
    =-[(a-b)2-4]
    =-(a-b+2)(a-b-2)
    这里的“负”,指“负号”。
    如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的;

    这里的“公”指“公因式”。
    如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;

    这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。

    分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。
    其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
    在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到实数!
    由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”等是一脉相承的。

  • 分解步骤:
    ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
    ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
    ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
    ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
    也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要相对合适。”

    分解因式技巧掌握:
    ①分解因式是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式
    ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
    ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数
    ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
    注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。

    主要方法:
    1.提取公因式法:
    如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
    提公因式法基本步骤:
    (1)找出公因式
    (2)提公因式并确定另一个因式:
    ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
    ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式
    ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

    2.公式法:
    把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来,得到因式分解的公式:
    平方差公式:a2-b2=(a+b)·(a-b);
    完全平方式:a2±2ab+b2=(a±b)2
    立方差公式:

    3.分组分解法:
    利用分组分解因式的方法叫做分组分解法,ac+ad+bc+bd=a·(c+d)+b·(c+d)=(a+b)·(c+d)
    其原则:
    ①连续提取公因式法:分组后每组能够分解因式,每组分解因式后,组与组之间又有公因式可提。
    ②分组后直接运用公式法:分组后各组内可以直接应用公式,各组分解因式后,使组与组之间构成公式的形式,然后用公式法分解因式。

    4.十字相乘法:a2+(p+q)·a+p·q=(a+p)·(a+q)。

    5.解方程法:
    通过解方程来进行因式分解,如
    x2+2x+1=0 ,解,得x1=-1,x2=-1,就得到原式=(x+1)×(x+1)

    6.待定系数法:
    首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
    例:
    分解因式x -x -5x -6x-4
    分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
    解:
    设x -x -5x -6x-4
    =(x +ax+b)(x +cx+d)
    = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
    所以 解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4
    则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

考点名称:最简二次根式
  • 最简二次根式定义:
    被开方数中不含字母,并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2,这样的二次根式称为最简二次根式。
    有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。

  • 最简二次根式同时满足下列三个条件:
    (1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
    (2)被开方数中不含有能开的尽的因式;
    (3)被开方数不含分母。
  • 最简二次根式判定:
    ①在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数就不是最简二次根式;
    ②在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数等于或大于2,也不是最简二次根式。

    化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:
    ①如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。
    ②如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

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