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阅读下列解题过程:已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),②

一、题文

阅读下列解题过程:已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
∵a2c2-b2c2=a4-b4,①
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),②
∴c2=a2+b2,③
∴△ABC为直角三角形.
问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号______;
(2)该步正确的写法应是______;
(3)本题正确的结论应是______.

考点提示:因式分解,勾股定理的逆定理

二、答案

(1)上述解题过程,从第③步开始出现错误;
(2)正确的写法为:c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),
移项得:c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0,
因式分解得:(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0,
则当a2-b2=0时,a=b;当a2-b2≠0时,a2+b2=c2
(3)△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
故答案为:(1)③;(2)当a2-b2=0时,a=b;当a2-b2≠0时,a2+b2=c2;(3)△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.

三、考点梳理

知名教师分析,《阅读下列解题过程:已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),②》这道题主要考你对 因式分解勾股定理的逆定理 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:因式分解,勾股定理的逆定理

考点名称:因式分解
  • 定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。
    它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。
  • 因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法,求根公式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
    注意四原则:
    1.分解要彻底(是否有公因式,是否可用公式)
    2.最后结果只有小括号
    3.最后结果中多项式首项系数为正(例如:)不一定首项一定为正。

  • 因式分解中的四个注意
    ①首项有负常提负,
    ②各项有“公”先提“公”,
    ③某项提出莫漏1,
    ④括号里面分到“底”。
    现举下例,可供参考。
    例:
    把-a2-b2+2ab+4分解因式。
    解:-a2-b2+2ab+4
    =-(a2-2ab+b2-4)
    =-[(a-b)2-4]
    =-(a-b+2)(a-b-2)
    这里的“负”,指“负号”。
    如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的;

    这里的“公”指“公因式”。
    如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;

    这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。

    分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。
    其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
    在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到实数!
    由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”等是一脉相承的。

  • 分解步骤:
    ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
    ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
    ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
    ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
    也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要相对合适。”

    分解因式技巧掌握:
    ①分解因式是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式
    ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
    ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数
    ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
    注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。

    主要方法:
    1.提取公因式法:
    如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
    提公因式法基本步骤:
    (1)找出公因式
    (2)提公因式并确定另一个因式:
    ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
    ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式
    ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

    2.公式法:
    把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来,得到因式分解的公式:
    平方差公式:a2-b2=(a+b)·(a-b);
    完全平方式:a2±2ab+b2=(a±b)2
    立方差公式:

    3.分组分解法:
    利用分组分解因式的方法叫做分组分解法,ac+ad+bc+bd=a·(c+d)+b·(c+d)=(a+b)·(c+d)
    其原则:
    ①连续提取公因式法:分组后每组能够分解因式,每组分解因式后,组与组之间又有公因式可提。
    ②分组后直接运用公式法:分组后各组内可以直接应用公式,各组分解因式后,使组与组之间构成公式的形式,然后用公式法分解因式。

    4.十字相乘法:a2+(p+q)·a+p·q=(a+p)·(a+q)。

    5.解方程法:
    通过解方程来进行因式分解,如
    x2+2x+1=0 ,解,得x1=-1,x2=-1,就得到原式=(x+1)×(x+1)

    6.待定系数法:
    首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
    例:
    分解因式x -x -5x -6x-4
    分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
    解:
    设x -x -5x -6x-4
    =(x +ax+b)(x +cx+d)
    = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
    所以 解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4
    则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

考点名称:勾股定理的逆定理
  • 勾股定理的逆定理:
    如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形。

    勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
    若c为最长边,且a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2,则△ABC是锐角三角形。如果a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形。
    由于余弦定理是由勾股定理推出的,故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
    勾股定理的逆定理是判定三角形是不是直角三角形的重要方法。

  • 勾股定理的来源:
    毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”。
    毕达哥拉斯在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。法国和比利时称为驴桥定理,埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦。 
    常用勾股数组(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17) ;(7,24,25)
    有关勾股定理书籍 :《数学原理》人民教育出版社;《探究勾股定理》同济大学出版社;《优因培教数学》北京大学出版社;《勾股书籍》新世纪出版社;《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社;《几何原本》(原著:欧几里得)人民日报出版社。

    毕达哥拉斯树
    毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树,所以被称为毕达哥拉斯树。 
    直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论:三个正方形之间的三角形,其面积小于等于大正方形面积的四分之一,大于等于一个小正方形面积的二分之一。

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