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解分式方程12+x+1x-2=1x2-4去分母时,两边都乘以______.

一、题文

解分式方程
1
2+x
+
1
x-2
=
1
x2-4
去分母时,两边都乘以 ______.

考点提示:因式分解,解分式方程

二、答案

∵x2-4=(x+2)(x-2),
∴方程的最简公分母为:(x+2)(x-2).
故答案为:(x+2)(x-2).

三、考点梳理

知名教师分析,《解分式方程12+x+1x-2=1x2-4去分母时,两边都乘以______.》这道题主要考你对 因式分解解分式方程 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:因式分解,解分式方程

考点名称:因式分解
  • 定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。
    它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。
  • 因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法,求根公式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
    注意四原则:
    1.分解要彻底(是否有公因式,是否可用公式)
    2.最后结果只有小括号
    3.最后结果中多项式首项系数为正(例如:)不一定首项一定为正。

  • 因式分解中的四个注意
    ①首项有负常提负,
    ②各项有“公”先提“公”,
    ③某项提出莫漏1,
    ④括号里面分到“底”。
    现举下例,可供参考。
    例:
    把-a2-b2+2ab+4分解因式。
    解:-a2-b2+2ab+4
    =-(a2-2ab+b2-4)
    =-[(a-b)2-4]
    =-(a-b+2)(a-b-2)
    这里的“负”,指“负号”。
    如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的;

    这里的“公”指“公因式”。
    如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;

    这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。

    分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。
    其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
    在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到实数!
    由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”等是一脉相承的。

  • 分解步骤:
    ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
    ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
    ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
    ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
    也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要相对合适。”

    分解因式技巧掌握:
    ①分解因式是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式
    ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
    ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数
    ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
    注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。

    主要方法:
    1.提取公因式法:
    如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
    提公因式法基本步骤:
    (1)找出公因式
    (2)提公因式并确定另一个因式:
    ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
    ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式
    ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

    2.公式法:
    把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来,得到因式分解的公式:
    平方差公式:a2-b2=(a+b)·(a-b);
    完全平方式:a2±2ab+b2=(a±b)2
    立方差公式:

    3.分组分解法:
    利用分组分解因式的方法叫做分组分解法,ac+ad+bc+bd=a·(c+d)+b·(c+d)=(a+b)·(c+d)
    其原则:
    ①连续提取公因式法:分组后每组能够分解因式,每组分解因式后,组与组之间又有公因式可提。
    ②分组后直接运用公式法:分组后各组内可以直接应用公式,各组分解因式后,使组与组之间构成公式的形式,然后用公式法分解因式。

    4.十字相乘法:a2+(p+q)·a+p·q=(a+p)·(a+q)。

    5.解方程法:
    通过解方程来进行因式分解,如
    x2+2x+1=0 ,解,得x1=-1,x2=-1,就得到原式=(x+1)×(x+1)

    6.待定系数法:
    首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
    例:
    分解因式x -x -5x -6x-4
    分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
    解:
    设x -x -5x -6x-4
    =(x +ax+b)(x +cx+d)
    = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
    所以 解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4
    则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

考点名称:解分式方程
  • 解法:
    解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,其一般步骤是:
    (1)去分母:分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母,把分式方程转化为整式方程。
    (最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)
    (2)解方程:解整式方程,得到方程的根;
    (3)验根:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;
    否则,这个解不是原分式方程的解,是原分式方程的增根。
    如果分式本身约分了,也要带进去检验。
    在列分式方程解应用题时,不仅要检验所得解的是否满足方程式,还要检验是否符合题意。
    一般的,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解.
    注意:
    (1)注意去分母时,不要漏乘整式项。
    (2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根。
    (3)増根使最简公分母等于0。

    分式方程的特殊解法:
    换元法:
    换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。
  • 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法。
    解分式方程注意:
    ①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程,通过解整式方程进一步求得分式方程的解;
    ②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边,从而约去分母,但要注意用最简公分母乘方程两边各项时,切勿漏项;
    ③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况,那么检验就是解分式方程的必要步骤。

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