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  4. 求一次函数的解析式及一次函数的应用

已知直角坐标平面上点A(2,0),P是函数y=x(x>0)图象上一点,PQ⊥AP交y轴正半轴于点Q(如图).(1)试证明:AP=PQ;(2)设点P的横坐标为a,点Q的纵坐标为b,那么b关于a的函数关系

一、题文

已知直角坐标平面上点A(2,0),P是函数y=x(x>0)图象上一点,PQ⊥AP交y轴正半轴于点Q(如图).
(1)试证明:AP=PQ;
(2)设点P的横坐标为a,点Q的纵坐标为b,那么b关于a的函数关系式是______;
(3)当S△AOQ=
2
3
S△APQ
时,求点P的坐标.

考点提示:求一次函数的解析式及一次函数的应用

二、答案

(1)过P作x轴、y轴的垂线,垂足分别为H、T
∵点P在函数y=x(x>0)的图象上,
∴PH=PT,PH⊥PT.(1分)
∵AP⊥PQ,
∴∠APH=∠QPT.
又∠PHA=∠PTQ,
∴△PHA≌△PTQ,(1分)
∴AP=PQ. (1分)

(2)根据题意得 AH=2-a=TQ.
∵OQ+TQ=OT=OH,
∴b+2-a=a,
b=2a-2.
故答案为 b=2a-2.(2分)

(3)由(1)、(2)知,
S△AOQ=
1
2
OA×OQ=2a-2
S△APQ=
1
2
AP2=a2-2a+2
,(1分)
2a-2=
2
3
(a2-2a+2)

解得 a=
5
2
,(1分)
所以点P的坐标是(
5-
5
2
5-
5
2
)
(
5+
5
2
5+
5
2
)
.(1分)

三、考点梳理

知名教师分析,《已知直角坐标平面上点A(2,0),P是函数y=x(x>0)图象上一点,PQ⊥AP交y轴正半轴于点Q(如图).(1)试证明:AP=PQ;(2)设点P的横坐标为a,点Q的纵坐标为b,那么b关于a的函数关系》这道题主要考你对 求一次函数的解析式及一次函数的应用 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称:求一次函数的解析式及一次函数的应用
  • 待定系数法求一次函数的解析式:
    先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到函数的解析式的方法。

    一次函数的应用:
    应用一次函数解应用题,一般是先写出函数解析式,在依照题意,设法求解。
    (1)有图像的,注意坐标轴表示的实际意义及单位;
    (2)注意自变量的取值范围。
  • 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤:
    第一步(设):设出函数的一般形式。(称一次函数通式)
    第二步(代):代入解析式得出方程或方程组。
    第三步(求):通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
    第四步(写):写出该函数的解析式。

    一次函数的应用涉及问题:
    一、分段函数问题
    分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
    合实际。

    二、函数的多变量问题
    解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
    求可以反映实际问题的函数

    三、概括整合
    (1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
    (2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

    生活中的应用:

    1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)

  • 一次函数应用常用公式:
    1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
    2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
    3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
    4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
    5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
    两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
    6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
    7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
    (x,y)为 + ,+(正,正)时该点在第一象限
    (x,y)为 - ,+(负,正)时该点在第二象限
    (x,y)为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
    (x,y)为 + ,-(正,负)时该点在第四象限
    8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
    9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
    10.
    y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
    y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
    y=kx+b+n就是向上平移n个单位
    y=kx+b-n就是向下平移n个单位
    口决:左加右减相对于x,上加下减相对于b。
    11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)

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