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  4. 一次函数的图像轴对称用坐标表示位置平面直角坐标系

△ABC在平面直角坐标系中的位置如图(1)通过列表、描点画出直线y=-x的图象;(2)作△ABC关于直线y=-x对称的图形△A′BC′,并写出△A′BC′各顶点的坐标;(3)若点P(m,n)是△ABC

一、题文

△ABC在平面直角坐标系中的位置如图
(1)通过列表、描点画出直线y=-x的图象;
(2)作△ABC关于直线y=-x对称的图形△A′BC′,并写出△A′BC′各顶点的坐标;
(3)若点P(m,n)是△ABC内部一点,则其变换后的对称点P′的坐标为_____。

考点提示:一次函数的图像,轴对称,用坐标表示位置,平面直角坐标系

二、答案

解:(1)在平面直角坐标系中的位置如图:

(2)
(3)P′(-n,-m)。

三、考点梳理

知名教师分析,《△ABC在平面直角坐标系中的位置如图(1)通过列表、描点画出直线y=-x的图象;(2)作△ABC关于直线y=-x对称的图形△A′BC′,并写出△A′BC′各顶点的坐标;(3)若点P(m,n)是△ABC》这道题主要考你对 一次函数的图像轴对称用坐标表示位置平面直角坐标系 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:一次函数的图像,轴对称,用坐标表示位置,平面直角坐标系

考点名称:一次函数的图像
  • 函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系
    一次函数的图象:一条直线,过(0,b),(,0)两点。
  • 性质:
    (1)在一次函数图像上的任取一点P(x,y),则都满足等式:y=kx+b(k≠0)。
    (2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总交于(-b/k,0)。正比例函数的图像都经过原点。

    k,b决定函数图像的位置:
    y=kx时,y与x成正比例:
    当k>0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大;
    当k<0时,直线必通过第二、四象限,y随x的增大而减小。
    y=kx+b时:
    当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限;
    当 k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限;
    当 k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限;
    当 k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
    当b>0时,直线必通过第一、二象限;
    当b<0时,直线必通过第三、四象限。
    特别地,当b=0时,直线经过原点O(0,0)。
    这时,当k>0时,直线只通过第一、三象限,不会通过第二、四象限。
    当k<0时,直线只通过第二、四象限,不会通过第一、三象限。

  • 特殊位置关系:
    当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值(即一次项系数)相等;
    当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为负倒数(即两个k值的乘积为-1)一次函数的

  • 画法
    (1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
    (2)描点:在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。
    一般地,y=kx+b(k≠0)的图象过(0,b)和(-b/k,0)两点即可画出。
    正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0,0)和(1,k)两点画出即可。
    (3)连线: 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。
考点名称:轴对称
  • 轴对称的定义:
    把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合 ,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的,对应点到对称轴的距离都是相等的。
  • 轴对称的性质:
    (1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分;
    (2)对应线段相等,对应角相等;
    (3)关于某直线对称的两个图形是全等图形。

  • 轴对称的判定:
    如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
    这样就得到了以下性质:
    1.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
    2.类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
    3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。 
    4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

    轴对称作用:
    可以通过对称轴的一边从而画出另一边。
    可以通过画对称轴得出的两个图形全等。
    扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

    轴对称的应用:
    关于平面直角坐标系的X,Y对称意义
    如果在坐标系中,点A与点B关于直线X对称,那么点A的横坐标不变,纵坐标为相反数。
    相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。

    关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )
    设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c
    则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a

    在几何证题、解题时,如果是轴对称图形,则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。
    譬如,等腰三角形经常添设顶角平分线;
    矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线;
    正方形,菱形问题经常添设对角线等等。
    另外,如果遇到的图形不是轴对称图形,则常选择某直线为对称轴,补添为轴对称图形,
    或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧,以实现条件的相对集中。

考点名称:用坐标表示位置
  • 点的坐标的概念:
    点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
    平面内点的坐标是有序实数对,当a≠b时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
  • 各象限内点的坐标的特征 :
    点P(x,y)在第一象限;点P(x,y)在第二象限
    点P(x,y)在第三象限;点P(x,y)在第四象限

    坐标轴上的点的特征:
    点P(x,y)在x轴上y=0,x为任意实数
    点P(x,y)在y轴上x=0,y为任意实数
    点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)。

    点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
    (1)点P(x,y)到x轴的距离等于|y|;
    (2)点P(x,y)到y轴的距离等于|x|;
    (3)点P(x,y)到原点的距离等于
  • 坐标表示位置步骤:
    利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的平面图的过程如下:
    (1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定X轴、y轴的正方向;
    (2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
    (3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
考点名称:平面直角坐标系
  • 平面直角坐标系定义:
    在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
    其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;
    铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;
    两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;
    建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。

    为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
    注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。
  • 特殊位置的点的坐标的特点:
    1.x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。
    2.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
    3.在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴;如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。
    4.点到轴及原点的距离
    点到x轴的距离为|y|; 点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方的平方根;

    对称点:

    1.关于x轴成轴对称的点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。(横同纵反)
    2.关于y轴成轴对称的点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。(横反纵同)
    3.关于原点成中心对称的点的坐标,横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标互为相反数。(横纵皆反)

    点的符号:
    横坐标 纵坐标
    第一象限:(+,+)正正
    第二象限:(-,+)负正
    第三象限:(-,-)负负
    第四象限:(+,-)正负
    x轴正半轴:(+,0)
    x轴负半轴:(-,0)
    y轴正半轴:(0,+)
    y轴负半轴: (0,-)
    x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0。
    原点:(0,0)
    注:以数对形式(x,y)表示的坐标系中的点(如2,-4),“2”是x轴坐标,“-4”是y轴坐标。

    其他公式:
    1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
    2. 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。
    3.二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
    4.一点上下平移,横坐标不变,即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。
    5.y轴上的点,横坐标都为0。
    6.x轴上的点,纵坐标都为0。
    7.坐标轴上的点不属于任何象限。
    8.一个关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标变为原坐标的相反数。反之同样成立。
    9.一个关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数。
    10.与x轴做轴对称变换时,x不变,y变
    11.与y轴做轴对称变换时,y不变,x变
    12.与原点做轴对称变换时,y与x都变

  • 应用:
    用直角坐标原理在投影面上确定地面点平面位置的坐标系:
    与数学上的直角坐标系不同的是,它的横轴为X轴,纵轴为Y轴。在投影面上,由投影带中央经线的投影为调轴、赤道投影为横轴(Y轴)以及它们的交点为原点的直角坐标系称为国家坐标系,否则称为独立坐标系。

    坐标方法的简单应用:
    1.用坐标表示地理位置
    2.用坐标表示平移
    在测量学中使用的平面直角坐标系统,包括高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系。
    通常选择:
    高斯投影平面(在高斯投影时)或测区内平均水准面的切平面(在独立地区测量时)作为坐标平面;
    纵坐标轴为x轴,向上(向北)为正;
    横坐标轴为y轴,向右(向东)为正;
    角度(方位角)从x轴正向开始按顺时针方向量取,象限也按逆时针方向编号。

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