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  4. 一次函数的定义正比例函数的定义正比例函数的图像

如图,直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD.(1)填空:点C的坐标是(,),点D的坐标是(,);(2)设直线CD与AB交于点M,求线段B

一、题文

如图,直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD.
(1)填空:点C的坐标是(    ),点D的坐标是(    );
(2)设直线CD与AB交于点M,求线段BM的长;
(3)在y轴上是否存在点P,使得△BMP是等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
 

考点提示:一次函数的定义,正比例函数的定义,正比例函数的图像

二、答案

(1)点C的坐标是(0,1),点D的坐标是(﹣2,0)
(2)
(3)存在,所有满足条件的点P的坐标是P1(0,2+)、P2(0,2﹣)、P3(0,)、P4(0,).
解:(1)y=﹣2x+2,
当x=0时,y=2,
当y=0时,x=1
,∴A(1,0),B(0,2),
∵将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD,
∴OC=0A=1,OD=OB=2,
∴点C的坐标是(0,1),点D的坐标是(﹣2,0),
故答案为:0,1,﹣2,0.
(2)由(1)可知:CD==,BC=1,
又∠ABO=∠ADC,∠BCM=∠DCO
∴△BMC∽△DOC(有两角对应相等的两三角形相似),
=
=
∴BM==
答:线段BM的长是
(3)存在,
分两种情况讨论:
①以BM为腰时,
∵BM=,又点P在y轴上,且BP=BM,
此时满足条件的点P有两个,它们是P1(0,2+)、P2(0,2﹣),
过点M作ME⊥y轴于点E,
∵∠BMC=90°,则△BME∽△BCM,
=
∴BE==
又∵BM=PM,
∴PE=BE=
∴BP=
∴OP=2﹣=
此时满足条件的点P有一个,它是P3(0,),
 
②以BM为底时,作BM的垂直平分线,分别交y轴、BM于点P、F,
由(2)得∠BMC=90°, 
∴PF∥CM,
∵F是BM的中点,
∴BP=BC=
∴OP=OB﹣BP=2﹣=
此时满足条件的点P有一个,它是P4(0,),
综上所述,符合条件的点P有四个,
它们是:P1(0,2+)、P2(0,2﹣)、P3(0,)、P4(0,).
答:存在,所有满足条件的点P的坐标是P1(0,2+)、P2(0,2﹣)、P3(0,)、P4(0,).
 
(1)把x=0,y=0分别代入解析式求出A、B的坐标,即可得出C、D的坐标;
(2)根据勾股定理求出CD,证△BMC∽△DOC,得到比例式即可求出答案;
(3)有两种情况:①以BM为腰时,满足BP=BM的有两个;过点M作ME⊥y轴于点E,证△BME∽△BCM,求出BE、PE,进一步求出OP即可;②以BM为底时,作BM的垂直平分线,分别交y轴、BM于点P、F,根据等腰三角形的性质求出即可.

三、考点梳理

知名教师分析,《如图,直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD.(1)填空:点C的坐标是(,),点D的坐标是(,);(2)设直线CD与AB交于点M,求线段B》这道题主要考你对 一次函数的定义正比例函数的定义正比例函数的图像 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:一次函数的定义,正比例函数的定义,正比例函数的图像

考点名称:一次函数的定义
  • 一次函数的定义:
    在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果可以写成y=kx+b(k、b为常数,k≠0),那么我们就说y是x的一次函数,其中x是自变量,y是因变量。
    ①正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数;
    ②一般情况下,一次函数的自变量的取值范围时全体实数;
    ③如果一个函数是一次函数,则含有自变量x的式子是一次的,系数k不等于0,而b可以为任意实数。
  • 一次函数基本性质:
    1.在正比例函数时,x与y的商一定(x≠0)。在反比例函数时,x与y的积一定。
    在y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,当x增大m时,函数值y则增大km,反之,当x减少m时,函数值y则减少km。

    2.当x=0时,b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标,该点的坐标为(0,b)。

    3.当b=0时,一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。

    4.在两个一次函数表达式中:
    当两个一次函数表达式中的k相同,b也相同时,则这两个一次函数的图像重合;
    当两个一次函数表达式中的k相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像平行;
    当两个一次函数表达式中的k不相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像相交;
    当两个一次函数表达式中的k不相同,b相同时,则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b);
    当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时,则这两个一次函数图像互相垂直。

    5.两个一次函数(y1=k1x+b1,y2=k2x+b2)相乘时(k≠0),得到的的新函数为二次函数,
    该函数的对称轴为-(k2b1+k1b2)/(2k1k2);
    当k1,k2正负相同时,二次函数开口向上;
    当k1,k2正负相反时,二次函数开口向下。
    二次函数与y轴交点为(0,b2b1)。

    6.两个一次函数(y1=ax+b,y2=cx+d)之比,得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数,渐近线为x=-b/a,y=c/a。
  • 一次函数的判定:
    ①判断一个函数是否是一次函数,就是判断它是否能化成y=kx+b的形式;
    ②当k≠0,b=0时,这个函数即是k≠0一次函数,k≠0又是正比例函数;
    ③当k=0,b≠0时,这个函数不是一次函数;
    ④一次函数的一般形式是关于x的一次二项式,它可以转化为含x、y的二元一次方程。
考点名称:正比例函数的定义
  • 正比例函数定义:
    一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。
    正比例函数属于一次函数,但一次函数却不一定是正比例函数。
    正比例函数是一次函数的特殊形式,即一次函数y=kx+b中,若b=0,即所谓“y轴上的截距”为零,则为正比例函数。
    正比例函数的关系式表示为:y=kx(k为比例系数)
    当k>0时(一三象限),k越大,图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大。
    当k<0时(二四象限),k越小,图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时,y的值则逐渐减小。
  • 正比例函数性质:
    定义域
    R(实数集)

    值域
    R(实数集)

    奇偶性
    奇函数

    单调性
    当k>0时,图像位于第一、三象限,从左往右,y随x的增大而增大(单调递增),为增函数;
    当k<0时,图像位于第二、四象限,从左往右,y随x的增大而减小(单调递减),为减函数。

    周期性
    不是周期函数。

    对称性
    对称点:关于原点成中心对称
    对称轴:自身所在直线;自身所在直线的垂直平分线

考点名称:正比例函数的图像
  • 图象:一条经过原点的直线。
    性质:
    (1)当k>0时,y随x的增大而增大;
    (2)当k<0时,y随x的增大而减小。
    1、在x允许的范围内取一个值,根据解析式求出y的值;
    2、根据第一步求的x、y的值描出点;
    3、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。
  • <?xml:namespace prefix = "v" ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />正比例函数的图像:
     <?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

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