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  4. 正比例函数的图像一次函数的图像求二次函数的解析式及二次函数的应用

如图,直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和y=-2x+6,动点P(x,0)在OB上移动(0<x<3),过点P作直线与x轴垂直。(1)求点C的坐标;(2)若A点坐标为(0,1),当点P运

一、题文

如图,直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和y=-2x+6,动点P(x,0)在OB上移动(0<x<3),过点P作直线与x轴垂直。
(1)求点C的坐标;
(2)若A点坐标为(0,1),当点P运动到什么位置时,AP+CP最小;
(3)设△OBC中位于直线左侧部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式。

考点提示:正比例函数的图像,一次函数的图像,求二次函数的解析式及二次函数的应用

二、答案

解:(1)C(2,2)
(2)点A关于x轴的对称点A1为(0,-1),直线A1C的解析式为y=x-1
直线A1C与x轴的交点坐标是(,0),所以当点P运动到(,0)时,AP+CP最小
(3)当0<x≤2时,S=x2
当2<x<3时,S=3-(3-x)2 (或S=-x2+6x-6)

三、考点梳理

知名教师分析,《如图,直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和y=-2x+6,动点P(x,0)在OB上移动(0<x<3),过点P作直线与x轴垂直。(1)求点C的坐标;(2)若A点坐标为(0,1),当点P运》这道题主要考你对 正比例函数的图像一次函数的图像求二次函数的解析式及二次函数的应用 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:正比例函数的图像,一次函数的图像,求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称:正比例函数的图像
  • 图象:一条经过原点的直线。
    性质:
    (1)当k>0时,y随x的增大而增大;
    (2)当k<0时,y随x的增大而减小。
    1、在x允许的范围内取一个值,根据解析式求出y的值;
    2、根据第一步求的x、y的值描出点;
    3、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。
  • <?xml:namespace prefix = "v" ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />正比例函数的图像:
     <?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

考点名称:一次函数的图像
  • 函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系
    一次函数的图象:一条直线,过(0,b),(,0)两点。
  • 性质:
    (1)在一次函数图像上的任取一点P(x,y),则都满足等式:y=kx+b(k≠0)。
    (2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总交于(-b/k,0)。正比例函数的图像都经过原点。

    k,b决定函数图像的位置:
    y=kx时,y与x成正比例:
    当k>0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大;
    当k<0时,直线必通过第二、四象限,y随x的增大而减小。
    y=kx+b时:
    当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限;
    当 k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限;
    当 k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限;
    当 k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
    当b>0时,直线必通过第一、二象限;
    当b<0时,直线必通过第三、四象限。
    特别地,当b=0时,直线经过原点O(0,0)。
    这时,当k>0时,直线只通过第一、三象限,不会通过第二、四象限。
    当k<0时,直线只通过第二、四象限,不会通过第一、三象限。

  • 特殊位置关系:
    当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值(即一次项系数)相等;
    当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为负倒数(即两个k值的乘积为-1)一次函数的

  • 画法
    (1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
    (2)描点:在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。
    一般地,y=kx+b(k≠0)的图象过(0,b)和(-b/k,0)两点即可画出。
    正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0,0)和(1,k)两点画出即可。
    (3)连线: 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。
考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
  • 求二次函数的解析式:
    最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
    (1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
    (2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
    (3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
    (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。

    二次函数的应用:
    (1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
    理解题意;
    建立数学模型;
    解决题目提出的问题。
    (2)应用二次函数求实际问题中的最值:
    即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
    求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。
  • 二次函数的三种表达形式:
    ①一般式:
    y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
    把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。

    ②顶点式:
    y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
    有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
    例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
    解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
    注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
    具体可分为下面几种情况:
    当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;
    当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;
    当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

    ③交点式:
    y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] .
    已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

    由一般式变为交点式的步骤:
    二次函数
    ∵x1+x2=-b/a, x1?x2=c/a(由韦达定理得),
    ∴y=ax2+bx+c
    =a(x2+b/ax+c/a)
    =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]
    =a(x-x1)(x-x2).
    重要概念:
    a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;
    a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
    a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
    能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;
    能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;
    能熟练地运用二次函数解决实际问题。

  • 二次函数的其他表达形式:
    ①牛顿插值公式:
    f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距) 
    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

    双根式
    y=a(x-x1)*(x-x2)
    若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2,则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。

    ③三点式
    已知二次函数上三个点,(x1,f(x1))(x2,f(x2))(x3,f(x3))
    则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)
    与X轴交点的情况
    当△=b2-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);
    当△=b2-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a,0)。
    Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
    X的取值是虚数(x=-b±√b2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
  • 二次函数解释式的求法:
    就一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0)而言,其中含有三个待定的系数a ,b ,c.求二次函数的一般式时,必须要有三个独立的定量条件,来建立关于a ,b ,c 的方程,联立求解,再把求出的a ,b ,c 的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式。

    1.巧取交点式法:
    知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)x1,x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
    已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便。
    ①典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式。
    例:已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点(2,8),求二次函数的解析式。
    点拨:
    解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1),
    ∵过点(2,8),
    ∴8=a(2+2)(2-1)。
    解得a=2,
    ∴抛物线的解析式为:
    y=2(x+2)(x-1),
    即y=2x2+2x-4。

    ②典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解。
    例:已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与x轴两交点间的距离为4,求二次函数的解析式。
    点拨:
    在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下,问题比较容易解决.由顶点坐标为(3,-2)的条件,易知其对称轴为x=3,再利用抛物线的对称性,可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1,0)和(5,0)。此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式。

    2.巧用顶点式:
    顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数a。在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题。在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便.
    ①典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式。
    例:已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式。
    点拨:
    解∵顶点坐标为(-1,-2),
    故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 (a≠0)。
    把点(1,10)代入上式,得10=a·(1+1)2-2。
    ∴a=3。
    ∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1。

    ②典型例题二:
    如果a>0,那么当 时,y有最小值且y最小=
    如果a<0,那么,当时,y有最大值,且y最大=
    告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式。
    例:已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式。
    点拨:
    析解∵二次函数当x=4时有最小值-3,∴顶点坐标为(4,-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上。
    由于图象与x轴两交点间的距离为6,根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1,0)和(7,0)。
    ∴抛物线的顶点为(4,-3)且过点(1,0)。
    故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3。
    将(1,0)代入得0=a(1-4)2-3, 解得a=13.
    ∴y=13(x-4)2-3,即y=13x2-83x+73。
    ③典型例题三:告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出。
    例如:
    (1)已知二次函数的图象经过点A(3,-2)和B(1,0),且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.
    (2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点(0,2),且过点(-1,0),求这个二次函数的解析式.
    (3)已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式.
    (4)二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点,它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式.

    ④典型例题四:利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便。
    例:把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
    点拨:
    解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
    ∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的,
    ∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。

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