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  4. 不等式的性质分式的定义 同类二次根式用坐标表示位置命题,定理

下列命题中的假命题是()A.12与6127是同类二次根式B.坐标平面内的点与有序实数对一一对应C.对于任意实数a,b,一定有a+b>a-bD.当x=-1时,分式x2-1x-1的值为零

一、题文

下列命题中的假命题是(  )
A.
12
6
1
27
是同类二次根式
B.坐标平面内的点与有序实数对一一对应
C.对于任意实数a,b,一定有a+b>a-b
D.当x=-1时,分式
x2-1
x-1
的值为零

考点提示:不等式的性质,分式的定义 ,同类二次根式,用坐标表示位置,命题,定理

二、答案

A、
12
=2
3
,6
1
27
=
2
3
3
,故
12
6
1
27
是同类二次根式;
B、正确;
C、当a=3,b=-2时,a+b<a-b,错误;
D、正确.
故选C.

三、考点梳理

知名教师分析,《下列命题中的假命题是()A.12与6127是同类二次根式B.坐标平面内的点与有序实数对一一对应C.对于任意实数a,b,一定有a+b>a-bD.当x=-1时,分式x2-1x-1的值为零》这道题主要考你对 不等式的性质分式的定义 同类二次根式用坐标表示位置命题,定理 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:不等式的性质,分式的定义 ,同类二次根式,用坐标表示位置,命题,定理

考点名称:不等式的性质
  • 不等式的性质:
    1、不等式的基本性质:
    不等式性质1:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变。即如果a>b,那么a±c>b±c。
    不等式性质2:不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。即如果a>b,c>0,那么ac>bc(或)。

    不等式性质3:不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。即如果a>b,c<0,那么ac<bc(或)。
    2、不等式的互逆性:若a>b,则b<a。
    3、不等式的传递性:若a>b,b>c,则a>c。
  • 不等式的性质:
    ①如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;(对称性)
    ②如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)
    ③如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法原则,或叫同向不等式可加性)
    ④ 如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz;(乘法原则)
    ⑤如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z<y÷z;
    ⑥如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要条件)
    ⑦如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;
    ⑧如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数),x的n次幂<y的n次幂(n为负数)

    或者说,不等式的基本性质有:
    ①对称性;
    ②传递性:
    ③加法单调性:即同向不等式可加性:
    ④乘法单调性:
    ⑤同向正值不等式可乘性:
    ⑥正值不等式可乘方:
    ⑦正值不等式可开方:
    ⑧倒数法则。

  • 不等式的基本性质和等式的基本性质的异同:
    ①相同点:无论是等式还是不等式,都可以在它的两边加(或减)同一个数或同一个整式;
    ②不同点:对于等式来说,在等式的两边乘(或除以)同一个正数(或同一个负数),等式仍然成立,但是对于不等式来说,却不大一样,在不等式的两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,而在不等式的两边乘(或除以)同一个负数,不等号要改变方向。
  • 原理
    ①不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。
    ②如果不等式F(x) < G(x)的定义域被解析式H( x )的定义域所包含,那么不等式 F(x)<G(x)与不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。
    ③如果不等式F(x)<G(x) 的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,并且H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)<H( x )G(x) 同解;如果H(x)<0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H (x)F(x)>H(x)G(x)同解。
    ④不等式F(x)G(x)>0与不等式同解;不等式F(x)G(x)<0与不等式同解。

考点名称:分式的定义
  • 分式的定义:
    一般地,用A、B表示两个整式,A÷B就可以表示成的形式,如果B中含有字母,式子就叫做分式。
    其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
    注:
    (1)分式的分母中必须含有字母;
    (2)分母的值不能为零,如果分母的值为零,那么分式无意义。
  • 分式的概念包括3个方面:
    ①分式是两个整式相除的商式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用;
    ②分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这是区别整式的重要依据;
    ③在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义。这里,分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。

    分式有意义的条件:
    (1)分式有意义条件:分母不为0;
    (2)分式无意义条件:分母为0;
    (3)分式值为0条件:分子为0且分母不为0;
    (4)分式值为正(负)数条件:分子分母同号时,分式值为正;分子分母异号时,分式值为负 。
  • 分式的区别概念:
    分式与分数的区别与联系:
    a.分式与分数在形式上是一致的,都有一条分数线,相当于除法的“÷”,都有分子和分母,都可以表示成(B≠0)的形式;
    b.分式中含有字母,由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。

    整式和分式统称为有理式。
    带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
    无限不循环小数也是无理式
    无理式和有理式统称代数式
考点名称:同类二次根式
  • 化成最简二次根式后的被开方数相同,这样的二次根式叫做同类二次根式。
    一个二次根式不能叫同类二次根式,至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。
    要判断几个根式是不是同类二次根式,须先化简根号里面的数,把非最简二次根式化成最简二次根式,然后判断。
  • 同类二次根式与同类项的异同:
    同类二次根式与同类项无论在表现形式上还是运算法则上都有极类似之处,因此我们把二者的区别和联系列出,学习时注意辨析、对比来应用。
    相同点
    1. 两者都是两个代数式间的一种关系。同类项是两个单项间的关系,字母及相同字母的指数都相同的项;同类二次根式是两个二次根式间的关系,指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
    2. 两者都能合并,而且合并法则相同。我们如果把最简二次根式的根号部分看做是同类项的指数部分,把根号外的因式看做是同类项的系数部分,那么同类二次根式的合并法则与同类项的合并法则相同,即“同类二次根式(或同类项)相加减,根式(字母)不变,系数相加减”。
    不同点
    1. 判断准则不同。
    判断两个最简二次根式是否为同类二次根式,其依据是“被开方数是否相同”,与根号外的因式无关;而同类项的判断依据是“字母因式及其指数是否对应相同”,与系数无关。
    2. 合并形式不同。
考点名称:用坐标表示位置
  • 点的坐标的概念:
    点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
    平面内点的坐标是有序实数对,当a≠b时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
  • 各象限内点的坐标的特征 :
    点P(x,y)在第一象限;点P(x,y)在第二象限
    点P(x,y)在第三象限;点P(x,y)在第四象限

    坐标轴上的点的特征:
    点P(x,y)在x轴上y=0,x为任意实数
    点P(x,y)在y轴上x=0,y为任意实数
    点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)。

    点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
    (1)点P(x,y)到x轴的距离等于|y|;
    (2)点P(x,y)到y轴的距离等于|x|;
    (3)点P(x,y)到原点的距离等于
  • 坐标表示位置步骤:
    利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的平面图的过程如下:
    (1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定X轴、y轴的正方向;
    (2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
    (3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
考点名称:命题,定理
  • 命题的概念:
    判断一件事情的语句,叫做命题。
    命题的概念包括两层含义:
    (1)命题必须是个完整的句子;
    (2)这个句子必须对某件事情做出判断。

    公理:
    人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。

    定理:
    通过真命题(公理或其他已被证明的定理)出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式,例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。
    一般来说,在数学中,只有重要或有趣的陈述才叫定理,证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想,当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源,但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述,可以不经过证明成为猜想的过程,成为定理。
    如上所述,定理需要某些逻辑框架,继而形成一套公理(公理系统)。同时,一个推理的过程,容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。
    在命题逻辑中,所有已证明的叙述都称为定理。

    经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理,用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
  • 命题的分类:
    (按正确、错误与否分)分为真命题(正确的命题),假命题(错误的命题),
    所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。
    所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。

    四种命题:
    1.对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆命题。
    2.对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的否命题。
    3.对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定,那么这两个命题叫做互为逆否命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆否命题。

    相互关系:
    1.四种命题的相互关系:原命题与逆命题互逆,否命题与原命题互否,原命题与逆否命题相互逆否,逆命题与否命题相互逆否,逆命题与逆否命题互否,逆否命题与否命题互逆。
    2.四种命题的真假关系:
    ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性。
    ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假)

    定理结构:
    定理一般都有一个设定——一大堆条件。然后它有结论——一个在条件下成立的数学叙述。
    通常写作「若条件,则结论」。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。
    逆定理:
    若存在某叙述为A→B,其逆叙述就是B→A。逆叙述成立的情况是A←→B,否则通常都是倒果为因,不合常理。若某叙述是定理,其成立的逆叙述就是逆定理。
    若某叙述和其逆叙述都为真,条件必要且充足。 若某叙述为真,其逆叙述为假,条件充足。 若某叙述为假,其逆叙述为真,条件必要。

  • 常用数学定理:
    1、每份数×份数=总数
    总数÷每份数=份数
    总数÷份数=每份数
    2、1倍数×倍数=几倍数
    几倍数÷1倍数=倍数
    几倍数÷倍数=1倍数
    3、速度×时间=路程
    路程÷速度=时间
    路程÷时间=速度
    4、单价×数量=总价
    总价÷单价=数量
    总价÷数量=单价
    5 、工作效率×工作时间=工作总量
    工作总量÷工作效率=工作时间
    工作总量÷工作时间=工作效率
    6 、加数+加数=和
    和-一个加数=另一个加数
    7 、被减数-减数=差
    被减数-差=减数
    差+减数=被减数
    8 、因数×因数=积
    积÷一个因数=另一个因数
    9、 被除数÷除数=商
    被除数÷商=除数
    商×除数=被除数

    小学数学图形计算公式:
    1 、正方形 C周长 S面积 a边长
    周长=边长×4 ;C=4a;
    面积=边长×边长; S=a×a
    2 、正方体 V:体积 a:棱长
    表面积=棱长×棱长×6; S棱=a×a×6 ;
    体积=棱长×棱长×棱长; V=a×a×a
    3、 长方形 C周长 S面积 a边长
    周长=(长+宽)×2 ;C=2(a+b) ;
    面积=长×宽 ;S=ab
    4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 c:高
    表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2; S=2(ab+bc+ca);
    体积=长×宽×高 ;V=abc
    5、 三角形 s面积 a底 h高
    面积=底×高÷2 ;s=ah÷2
    三角形高=面积 ×2÷底
    三角形底=面积 ×2÷高
    6、 平行四边形 s面积 a底 h高
    面积=底×高 s=ah
    7、 梯形 s面积 a上底 b下底 h高
    面积=(上底+下底)×高÷2;s=(a+b)× h÷2
    8、 圆形 S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径
    周长=直径×∏=2×∏×半径; C=∏d=2∏r ;
    面积=半径×半径×∏
    9、 圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
    侧面积=底面周长×高;
    表面积=侧面积+底面积×2 ;
    体积=底面积×高 ;
    体积=侧面积÷2×半径
    10、 圆锥体 v:体积 h:高 s:底面积 r:底面半径
    体积=底面积×高÷3

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