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  4. 一元二次方程的解法三角形的三边关系勾股定理的逆定理

已知三角形的两边分别为3和4,如果第三边长为方程x2-6x+5=0的根.(1)求出这个三角形的周长;(2)判别这个三角形的形状;(3)求出最长边上的高.

一、题文

已知三角形的两边分别为3和4,如果第三边长为方程x2-6x+5=0的根.
(1)求出这个三角形的周长;
(2)判别这个三角形的形状;
(3)求出最长边上的高.

考点提示:一元二次方程的解法,三角形的三边关系,勾股定理的逆定理

二、答案

(1)x2-6x+5=0,
(x-1)(x-5)=0,
则x-1=0,x-5=0,
解得:x1=1,x2=5,
当x=1时不能构成三角形,故舍去,
三角形的周长为:3+4+5=12;

(2)∵32+42=52
∴此三角形为直角三角形;

(3)设最长边上的高为h,
1
2
×3×4=
1
2
×5×h,
解得:h=
12
5

故最长边上的高为
12
5

三、考点梳理

知名教师分析,《已知三角形的两边分别为3和4,如果第三边长为方程x2-6x+5=0的根.(1)求出这个三角形的周长;(2)判别这个三角形的形状;(3)求出最长边上的高.》这道题主要考你对 一元二次方程的解法三角形的三边关系勾股定理的逆定理 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:一元二次方程的解法,三角形的三边关系,勾股定理的逆定理

考点名称:一元二次方程的解法
  • 一元二次方程的解:
    能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
    解一元二次方程方程:
    求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  • 韦达定理:
    一元二次方程根与系数的关系(以下两个公式很重要,经常在考试中运用到)
    一般式:ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系:
    x1+x2= -b/a
    x1·x2=c/a

  • 一元二次方程的解法:
    1、直接开平方法
    利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
    直接开平方法适用于解形如的一元二次方程,根据平方根的定义可知,x+a 是b的平方根,当时,;当b<0时,方程没有实数根。
    用直接开平方法求一元二次方程的根,一定要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根。

    2、配方法
    配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
    配方法的理论根据是完全平方公式,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有

    3、公式法
    公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
    一元二次方程 的求根公式:
    求根公式是专门用来解一元二次方程的,故首先要求a≠0;有因为开平方运算时,被开方数必须是非负数,所以第二个条件是b2-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b2-4ac≥0。

    4、因式分解法
    因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
考点名称:三角形的三边关系
  • 三角形的三边关系:
    在三角形中,任意两边和大于第三边,任意两边差小于第三边。
    设三角形三边为a,b,c

    a+b>c
    a+c>b
    b+c>a
    a-b<c
    a-c<b
    b-c<a
    在直角三角形中,设a、b为直角边,c为斜边。
    则两直角边的平方和等于斜边平方。
    在等边三角形中,a=b=c
    在等腰三角形中, a,b为两腰,则a=b
    在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下,c2=a2+b2-2abcosc

  • 三角形的三边关系定理及推论:
    (1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。
    推论:三角形的两边之差小于第三边。
    (2)三角形三边关系定理及推论的作用:
    ①判断三条已知线段能否组成三角形;
    ②当已知两边时,可确定第三边的范围;
    ③证明线段不等关系。

考点名称:勾股定理的逆定理
  • 勾股定理的逆定理:
    如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形。

    勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
    若c为最长边,且a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2,则△ABC是锐角三角形。如果a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形。
    由于余弦定理是由勾股定理推出的,故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
    勾股定理的逆定理是判定三角形是不是直角三角形的重要方法。

  • 勾股定理的来源:
    毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”。
    毕达哥拉斯在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。法国和比利时称为驴桥定理,埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦。 
    常用勾股数组(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17) ;(7,24,25)
    有关勾股定理书籍 :《数学原理》人民教育出版社;《探究勾股定理》同济大学出版社;《优因培教数学》北京大学出版社;《勾股书籍》新世纪出版社;《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社;《几何原本》(原著:欧几里得)人民日报出版社。

    毕达哥拉斯树
    毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树,所以被称为毕达哥拉斯树。 
    直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论:三个正方形之间的三角形,其面积小于等于大正方形面积的四分之一,大于等于一个小正方形面积的二分之一。

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