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  4. 一元二次方程的解法三角形的三边关系

若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根,且a、b、c为一个三角形的边长,则这个三角形一定是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

一、题文

若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根,且a、b、c为一个三角形的边长,则这个三角形一定是(  )
A.等边三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

考点提示:一元二次方程的解法,三角形的三边关系

二、答案

解方程x2+2ax+b2=0得,
x1=
-2a+
(2a)2-4b2
2
=-a+
a2-b2

x2=
-2a-
(2a)2-4b2
2
=-a-
a2-b2

解方程x2+2cx-b2=0得,
x3=
-2c+
(2c)2+4b2
2
=-c+
c2+b2

x4=
-2c-
(2c)2+4b2
2
=-c-
c2+b2

∴方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根,
∴①x1=x3,-a+
a2-b2
=-c+
c2+b2

移项得,c-a=
c2+b2
-
a2-b2

∵a≠c,
两边平方、并整理得,ac=
c2+b2
a2-b2

两边平方得,a2c2=(c2-b2)(a2-b2),
整理得,c2+b2=a2
根据勾股定理的逆定理,可知此三角形为直角三角形.
同理,②x2=x4时,得相同结果;
③x1=x4时,解得,等式不成立;
④x2=x3时,解得,等式不成立.
故三角形为直角三角形.
故选C.

三、考点梳理

知名教师分析,《若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根,且a、b、c为一个三角形的边长,则这个三角形一定是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形》这道题主要考你对 一元二次方程的解法三角形的三边关系 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:一元二次方程的解法,三角形的三边关系

考点名称:一元二次方程的解法
  • 一元二次方程的解:
    能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
    解一元二次方程方程:
    求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  • 韦达定理:
    一元二次方程根与系数的关系(以下两个公式很重要,经常在考试中运用到)
    一般式:ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系:
    x1+x2= -b/a
    x1·x2=c/a

  • 一元二次方程的解法:
    1、直接开平方法
    利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
    直接开平方法适用于解形如的一元二次方程,根据平方根的定义可知,x+a 是b的平方根,当时,;当b<0时,方程没有实数根。
    用直接开平方法求一元二次方程的根,一定要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根。

    2、配方法
    配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
    配方法的理论根据是完全平方公式,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有

    3、公式法
    公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
    一元二次方程 的求根公式:
    求根公式是专门用来解一元二次方程的,故首先要求a≠0;有因为开平方运算时,被开方数必须是非负数,所以第二个条件是b2-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b2-4ac≥0。

    4、因式分解法
    因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
考点名称:三角形的三边关系
  • 三角形的三边关系:
    在三角形中,任意两边和大于第三边,任意两边差小于第三边。
    设三角形三边为a,b,c

    a+b>c
    a+c>b
    b+c>a
    a-b<c
    a-c<b
    b-c<a
    在直角三角形中,设a、b为直角边,c为斜边。
    则两直角边的平方和等于斜边平方。
    在等边三角形中,a=b=c
    在等腰三角形中, a,b为两腰,则a=b
    在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下,c2=a2+b2-2abcosc

  • 三角形的三边关系定理及推论:
    (1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。
    推论:三角形的两边之差小于第三边。
    (2)三角形三边关系定理及推论的作用:
    ①判断三条已知线段能否组成三角形;
    ②当已知两边时,可确定第三边的范围;
    ③证明线段不等关系。

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